Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} - (\frac{x - 1}{x + 3})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{x - 1}{x + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 3) (x + 3)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{x - 1}{x + 3}$ với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Khai triển $(x + h - 1) (x + 3)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 \cdot h - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Trừ $x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x - - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x + 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Khai triển $(- x + 1) (x + h + 3)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.4

Nhân $h$ với $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.8

Cộng $- 3 x$ và $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.9

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 + 0 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.11

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 3 - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.12

Trừ $x h$ khỏi $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.12.1

Sắp xếp lại $h$ và $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + x h - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.12.2

Trừ $x h$ khỏi $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.13

Cộng $3 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.14

Cộng $3 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.15

Cộng $3 h$ và $h$ .

$\frac{\frac{4 h - 3 + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.16

Cộng $- 3$ và $3$ .

$\frac{\frac{4 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.17

Cộng $4 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $4 h$ .

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Bước 5