Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

Bước 2.1.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x + h$ và $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Bước 2.1.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.1.2

Nhân $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ với $1$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.3

Để viết $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Bước 4.1.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Nhân $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ với $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

Bước 4.1.4.2

Nhân $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ với $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Bước 4.1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

Bước 4.1.4.4

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ .

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.3

Khai triển $(- x - 6) (x - 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4.1.2

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4.1.3

Nhân $- 6$ với $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4.2

Trừ $6 x$ khỏi $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.4.3

Cộng $- x^{2}$ và $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.5

Khai triển $(x + h + 6) (x + h - 6)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.6.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 6$ và $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6.2

Cộng $- 6 x$ và $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6.3

Cộng $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ và $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6.4

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $h \cdot - 6$ và $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6.5

Cộng $- 6 h$ và $6 h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.6.6

Cộng $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ và $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.7.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.7.2

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.7.3

Nhân $6$ với $- 6$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.8

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.8.1

Sắp xếp lại $h$ và $x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.8.2

Cộng $x h$ và $x h$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.9

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.10

Cộng $0$ và $36$ .

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.11

Trừ $36$ khỏi $36$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.12

Cộng $2 x h + h^{2}$ và $0$ .

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.13

Đưa $h$ ra ngoài $2 x h + h^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.13.1

Đưa $h$ ra ngoài $2 x h$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.13.2

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.1.6.13.3

Đưa $h$ ra ngoài $h (2 x) + h (h)$ .

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

Bước 5