Giải tích sơ cấp Ví dụ

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Bước 1

Viết $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Bước 2

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Bước 3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính hàm số tại $x = r + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $r$ bằng $r + h$ trong biểu thức.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Bước 3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Bước 3.1.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Bước 3.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Bước 3.1.2.4.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Bước 3.1.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.1

Nhân $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.1.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.1.2

Kết hợp $\frac{π \cdot 4}{3}$ và $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Bước 3.1.2.6.4

Nhân $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.6.4.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Bước 3.1.2.6.4.2

Kết hợp $\frac{π \cdot 4}{3}$ và $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Bước 3.1.2.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.7.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Bước 3.1.2.7.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Bước 3.1.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Bước 3.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Bước 3.2.2

Di chuyển $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Bước 3.2.3

Di chuyển $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Bước 3.2.4

Di chuyển $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Bước 3.2.5

Sắp xếp lại $4 π h^{2} r$ và $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Bước 3.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Bước 4

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $\frac{4 π r^{3}}{3}$ khỏi $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Bước 5.1.2

Cộng $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ và $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Bước 5.1.3

Đưa $4 π h$ ra ngoài $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $4 π h$ ra ngoài $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Bước 5.1.3.2

Đưa $4 π h$ ra ngoài $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Bước 5.1.3.3

Đưa $4 π h$ ra ngoài $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Bước 5.1.3.4

Đưa $4 π h$ ra ngoài $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Bước 5.1.3.5

Đưa $4 π h$ ra ngoài $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.4

Để viết $h r$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.5

Kết hợp $h r$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} + h r \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.7.1.2

Đưa $h$ ra ngoài $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.7.1.3

Đưa $h$ ra ngoài $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.7.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Bước 5.1.8

Để viết $r^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Bước 5.1.9

Kết hợp $r^{2}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Bước 5.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Bước 5.1.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Bước 5.1.11.2

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Bước 5.1.11.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Bước 5.1.11.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Bước 5.1.12

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.12.1

Kết hợp $4$ và $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Bước 5.1.12.2

Kết hợp $π$ và $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Bước 5.1.12.3

Kết hợp $h$ và $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Bước 5.1.13

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Bước 5.1.14

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Bước 5.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 5.3

Kết hợp.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Bước 5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Bước 5.5

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Bước 6