Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - 1}{3 (x + h) + 5}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 (x + h) + 5}$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} - (\frac{2 x - 1}{3 x + 5})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ với $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ với $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Khai triển $(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.4

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 3 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.6

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.7

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.9

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Trừ $3 x$ khỏi $10 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- (2 x) - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.7

Khai triển $(- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 x (3 x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.8.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x \cdot x - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.8.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 \cdot 3 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.6

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.7

Nhân $3 x$ với $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.8

Nhân $3 h$ với $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.8.9

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.9

Cộng $- 10 x$ và $3 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.10

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $6 x^{2}$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 + 0 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.11

Cộng $7 x$ và $0$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.12

Trừ $7 x$ khỏi $7 x$ .

$\frac{\frac{6 h x + 10 h - 5 - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.13

Trừ $6 x h$ khỏi $6 h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.13.1

Di chuyển $h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 6 x h - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.13.2

Trừ $6 x h$ khỏi $6 x h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.14

Cộng $10 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.15

Cộng $10 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.16

Cộng $10 h$ và $3 h$ .

$\frac{\frac{13 h - 5 + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.17

Cộng $- 5$ và $5$ .

$\frac{\frac{13 h + 0}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.1.5.18

Cộng $13 h$ và $0$ .

$\frac{\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $13 h$ .

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$

Bước 5