Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.2

Nhân $\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{3}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.2.3

Kết hợp $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ và $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.3

Nhân $\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.3.3

Kết hợp $\frac{x \cdot 3}{8}$ và $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.3.4

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.4.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.4.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2.1.5

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

Bước 2.1.2.1.6

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

Bước 2.1.2.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Bước 2.1.2.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Bước 2.1.2.1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.7.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Bước 2.1.2.1.7.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.1.7.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.7.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.1.7.2.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Bước 2.1.2.1.9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Bước 2.2.3

Di chuyển $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Bước 2.2.4

Di chuyển $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Bước 2.2.5

Di chuyển $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Bước 2.2.6

Di chuyển $\frac{3 h x^{2}}{8}$ .

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại $\frac{3 h^{2} x}{8}$ và $\frac{h^{3}}{8}$ .

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

Bước 4.1.2

Nhân $- - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

Bước 4.1.3

Trừ $\frac{x^{3}}{8}$ khỏi $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $\frac{h^{3}}{8}$ và $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Bước 4.1.5

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

Bước 4.1.6

Cộng $\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ và $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.8

Đưa $h^{2}$ ra ngoài $h^{3} + 3 h^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Đưa $h^{2}$ ra ngoài $h^{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.8.2

Đưa $h^{2}$ ra ngoài $3 h^{2} x$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.8.3

Đưa $h^{2}$ ra ngoài $h^{2} h + h^{2} (3 x)$ .

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.1.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} (h + 3 x)$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10.1.2

Đưa $h$ ra ngoài $3 h x^{2}$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10.1.3

Đưa $h$ ra ngoài $h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10.3

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.10.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.11

Để viết $- h^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.12

Kết hợp $- h^{2}$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.14.1

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.14.1.1

Đưa $h$ ra ngoài $- h^{2} \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.14.1.2

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.14.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

Bước 4.1.15

Để viết $- 2 h x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

Bước 4.1.16

Kết hợp $- 2 h x$ và $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Bước 4.1.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Bước 4.1.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.18.1

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.18.1.1

Đưa $h$ ra ngoài $- 2 h x \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Bước 4.1.18.1.2

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Bước 4.1.18.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Kết hợp.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Bước 4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

Bước 4.5

Nhân $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ với $1$ .

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

Bước 5