Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ở dạng một phương trình.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ cho $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\sqrt[5]{y + 7}$ cho $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Bước 3.3

Để loại bỏ căn ở vế trái của phương trình, lũy thừa cả hai vế của phương trình lên mũ $5$ .

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{y + 7}$ ở dạng ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Bước 3.4.3.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Bước 3.5

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ có là hàm ngược của $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3

Viết lại ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ ở dạng $x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x + 7}$ ở dạng ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.1.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Bước 5.2.3.2.2

Chia $x + 7$ cho $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 7 - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Bước 5.3.3

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Bước 5.3.4

Cộng $\frac{x^{5}}{3125}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Bước 5.3.5

Viết lại $3125$ ở dạng $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Bước 5.3.6

Viết lại $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ ở dạng ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Bước 5.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ là hàm ngược của $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$