Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ .

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Bước 3.2

Rút gọn ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Bước 3.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Bước 3.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $3125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Bước 3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Bước 3.5

Lấy mũ lũy thừa $\frac{7}{5}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.1.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Rút gọn ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3125 x$ .

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2.1.1.2

Viết lại $3125$ ở dạng $5^{5}$ .

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Bước 3.6.2.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Bước 5.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Bước 5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Bước 5.2.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Bước 5.2.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Bước 5.2.4.2

Rút gọn.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $78125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Bước 5.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $78125 x^{\frac{7}{5}}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $78125$ ở dạng $5^{7}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.5

Tính số mũ.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.3.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Chia $x^{\frac{1}{5}}$ cho $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Bước 5.3.4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Bước 5.3.4.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$