Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ ở dạng ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Nhân $9$ với $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.3.2

Rút gọn.

$9 y - 81 = x^{3}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $81$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 y = x^{3} + 81$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $9 y = x^{3} + 81$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 y = x^{3} + 81$ cho $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Chia $81$ cho $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Viết lại ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ ở dạng $9 (x - 9)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ở dạng ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.1.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.3

Nhân $9$ với $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 x - 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.4.2

Đưa $9$ ra ngoài $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Bước 5.2.3.1.4.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Bước 5.2.3.2.2

Chia $x - 9$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 9 + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 9$ và $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\frac{x^{3}}{9}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Bước 5.3.4

Kết hợp $9$ và $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Bước 5.3.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Rút gọn biểu thức $\frac{9 x^{3}}{9}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Bước 5.3.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Bước 5.3.5.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Bước 5.3.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$