Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Bước 3.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Viết lại ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ ở dạng $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Bước 3.1.2.2

Đưa $y^{3}$ ra ngoài.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Bước 3.1.2.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Bước 3.1.3

Nâng $10$ lên lũy thừa $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Bước 3.2

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Bước 3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y^{2}}$ ở dạng $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Bước 3.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $100000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Bước 3.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Bước 3.5.1.2

Nhân $y$ với $y^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Nhân $y$ với $y^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Bước 3.5.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Bước 3.5.1.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Bước 3.5.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Bước 3.5.1.2.4

Cộng $3$ và $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Bước 3.6

Lấy mũ lũy thừa $\frac{3}{5}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.1.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Rút gọn ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2.1.1.2

Viết lại $100000$ ở dạng $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Bước 3.7.2.1.3

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Bước 5.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Bước 5.2.5

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $1000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Bước 5.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $1000 x^{\frac{3}{5}}$ ở dạng ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Bước 5.3.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Chia $x^{\frac{1}{5}}$ cho $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Bước 5.3.4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Bước 5.3.4.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$