Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Bước 3.4

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{5} = 9 x + 6$

Bước 3.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Bước 3.6

Đưa $3$ ra ngoài $9 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Bước 3.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Bước 3.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Bước 5.2.4

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Bước 5.2.5

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Bước 5.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Bước 5.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Bước 5.2.8

Viết lại $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Bước 5.2.8.2

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Bước 5.2.8.3

Cộng $x^{5}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Bước 5.2.9

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Bước 5.2.10

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Rút gọn biểu thức $\frac{3 x^{5}}{3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Bước 5.2.10.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Bước 5.2.10.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Bước 5.2.11

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ ở dạng ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Bước 5.3.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Bước 5.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Bước 5.3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Bước 5.3.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Bước 5.3.3.5

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Bước 5.3.3.6

Rút gọn.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Bước 5.3.3.7

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Bước 5.3.3.8

Cộng $9 x$ và $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$