Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{7}}{8} + 8$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{7}}{8} + 8$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$ .

$\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$

Bước 3.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{7}}{8} = x - 8$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $8$ .

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Bước 3.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Bước 3.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{7} = 8 (x - 8)$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn $8 (x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{7} = 8 x + 8 \cdot - 8$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $8$ với $- 8$ .

$y^{7} = 8 x - 64$

Bước 3.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[7]{8 x - 64}$

Bước 3.6

Đưa $8$ ra ngoài $8 x - 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x) - 64}$

Bước 3.6.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 64$ .

$y = \sqrt[7]{8 x + 8 \cdot - 8}$

Bước 3.6.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 ((\frac{x^{7}}{8} + 8) - 8)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8} + 0)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $\frac{x^{7}}{8}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8})}$

Bước 5.2.4

Kết hợp $8$ và $\frac{x^{7}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Rút gọn biểu thức $\frac{8 x^{7}}{8}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Bước 5.2.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Bước 5.2.5.2

Chia $x^{7}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Bước 5.2.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[7]{8 (x - 8)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(\sqrt[7]{8 (x - 8)})}^{7}}{8} + 8$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Viết lại ${\sqrt[7]{8 (x - 8)}}^{7}$ ở dạng $8 (x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{8 (x - 8)}$ ở dạng ${(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{({(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.1.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.3

Nhân $8$ với $- 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x - 64}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.4

Đưa $8$ ra ngoài $8 x - 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x) - 64}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.4.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 64$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Bước 5.3.3.1.4.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Bước 5.3.3.2.2

Chia $x - 8$ cho $1$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x - 8 + 8$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 8 + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 8$ và $8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$