Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ không xác định.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Bước 2

Vì $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $\ln (2)$ từ phía bên trái và $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $\ln (2)$ từ phía bên phải, thì $x = \ln (2)$ là một tiệm cận đứng.

$x = \ln (2)$

Bước 3

Vì $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $\ln (3)$ từ phía bên trái và $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $\ln (3)$ từ phía bên phải, thì $x = \ln (3)$ là một tiệm cận đứng.

$x = \ln (3)$

Bước 4

Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng:

$x = \ln (2), \ln (3)$

Bước 5

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 5.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 5.1.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 5.2

Vì số mũ $2 x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{2 x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 5.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Bước 5.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Bước 5.4

Vì số mũ $2 x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{2 x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Bước 5.5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Bước 5.6

Vì số mũ $x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Bước 5.7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Bước 5.7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3 \cdot 0 + 2$ và $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Bước 5.7.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Bước 5.7.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Bước 5.7.2.1.4

Viết lại $6$ ở dạng $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Bước 5.7.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Bước 5.7.2.1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Bước 5.7.2.1.7

Đưa $2$ ra ngoài $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Bước 5.7.2.1.8

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Bước 5.7.2.1.9

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Bước 5.7.2.1.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Bước 5.7.2.1.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Bước 5.7.2.1.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Bước 5.7.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Bước 5.7.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Bước 5.7.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.3.1

Nhân $0$ với $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Bước 5.7.2.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Bước 5.7.2.3.3

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Bước 5.7.2.4

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 6

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = \frac{1}{3}$

Bước 7

Không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 8

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = \ln (2), \ln (3)$

Các tiệm cận ngang: $y = \frac{1}{3}$

Không có các tiệm cận xiên

Bước 9