Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$ .

$\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3}} = 3 x$

Bước 3.4

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Rút gọn ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Bước 3.5.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Bước 3.5.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Bước 3.5.1.1.2

Rút gọn.

$y + 7 = {(3 x)}^{3}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${(3 x)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$y + 7 = 3^{3} x^{3}$

Bước 3.5.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$y + 7 = 27 x^{3}$

Bước 3.6

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 27 x^{3} - 7$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 {(\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})}^{3} - 7$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 7$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.2

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Bước 5.2.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 7 - 7$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 7 - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (27 x^{3} - 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{((27 x^{3} - 7) + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $27 x^{3} - 7 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.1.2

Cộng $27 x^{3}$ và $0$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $27 x^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{27^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.6

Tính số mũ.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3.7

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Bước 5.3.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Bước 5.3.3.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.3.3.8

Rút gọn.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (27 x^{3} - 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$