Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Bước 3.1.2

Viết lại ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ ở dạng $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Bước 3.1.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Bước 3.2

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Bước 3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{y^{3}}$ ở dạng $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Bước 3.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $343$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Bước 3.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Bước 3.6

Lấy mũ lũy thừa $\frac{7}{3}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.1.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Rút gọn ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2.1.1.2

Viết lại $343$ ở dạng $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Bước 3.7.2.1.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Bước 5.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Bước 5.2.5

Nâng $7$ lên lũy thừa $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $823543$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Bước 5.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $823543 x^{\frac{7}{3}}$ ở dạng ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Bước 5.3.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Chia $x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 5.3.4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 5.3.4.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$