Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ở dạng một phương trình.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 {(y - 5)}^{7} = x$ .

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $5 {(y - 5)}^{7} = x$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 {(y - 5)}^{7} = x$ cho $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia ${(y - 5)}^{7}$ cho $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Bước 3.4

Viết lại $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Bước 3.5

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ có là hàm ngược của $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ và $\sqrt[7]{5}$ vào một căn thức đơn.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Rút gọn biểu thức $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Bước 5.2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Bước 5.2.3.2.2

Chia ${(x - 5)}^{7}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Bước 5.2.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ và $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Bước 5.3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5

Viết lại ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.5.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Bước 5.3.6

Viết lại ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Bước 5.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Bước 5.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Bước 5.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Bước 5.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.6.5

Tính số mũ.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ là hàm ngược của $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$