Giải tích sơ cấp Ví dụ

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức

\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ không xác định.

x = - 7, x = 3

$x = - 7, x = 3$

Bước 2

Các tiệm cận đứng xảy ra tại các khu vực của điểm gián đoạn vô cùng.

Không có các tiệm cận đứng

Bước 3

Xét hàm số hữu tỉ

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó

n

$n$ là bậc của tử số và

m

$m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu

n < m

$n < m$ , thì trục x,

y = 0

$y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu

n = m

$n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu

n > m

$n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 4

Tìm

n

$n$ và

m

$m$ .

n = 3

$n = 3$

m = 2

$m = 2$

Bước 5

Vì

n > m

$n > m$ , nên không có tiệm cận ngang.

Không có các tiệm cận ngang

Bước 6

Tìm tiệm cận xiên bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x^{3} + 4 x^{2} - 21 x

$x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.1.1.2

Đưa

x

$x$ ra ngoài

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.1.1.3

Đưa

x

$x$ ra ngoài

- 21 x

$- 21 x$ .

\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.1.1.4

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x \cdot x^{2} + x (4 x)

$x \cdot x^{2} + x (4 x)$ .

\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.1.1.5

Đưa

x

$x$ ra ngoài

x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21

$x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ .

\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.1.2

Phân tích

x^{2} + 4 x - 21

$x^{2} + 4 x - 21$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Xét dạng

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là

c

$c$ và tổng của chúng là

b

$b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là

- 21

$- 21$ và tổng của chúng là

4

$4$ .

- 3, 7

$- 3, 7$

Bước 6.1.1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Bước 6.1.2

Phân tích

x^{2} + 4 x - 21

$x^{2} + 4 x - 21$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Xét dạng

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là

c

$c$ và tổng của chúng là

b

$b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là

- 21

$- 21$ và tổng của chúng là

4

$4$ .

- 3, 7

$- 3, 7$

Bước 6.1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Bước 6.1.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung

x - 3

$x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Bước 6.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

\frac{x (x + 7)}{x + 7}

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

\frac{x (x + 7)}{x + 7}

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung

x + 7

$x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{x (x + 7)}{x + 7}

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Bước 6.1.3.2.2

Chia

x

$x$ cho

1

$1$ .

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

Bước 6.2

Vì không có phần đa thức nào từ phép chia đa thức, nên không có các tiệm cận xiên.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 7

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Không có các tiệm cận đứng

Không có các tiệm cận ngang

Không có các tiệm cận xiên

Bước 8