Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Bước 2

Giải tìm $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1 + b$ , và $c = - b$ vào công thức bậc hai và giải tìm $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.3

Viết lại ${(- 1 + b)}^{2}$ ở dạng $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.4

Khai triển $(- 1 + b) (- 1 + b)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5.1.2

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5.1.4

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5.1.5

Nhân $b$ với $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5.2

Trừ $b$ khỏi $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.6

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.6.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.6.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.7

Cộng $- 2 b$ và $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.9

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.9.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.9.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Bước 2.3.1.9.3

Viết lại đa thức này.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.9.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = b$ và $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.3

Viết lại ${(- 1 + b)}^{2}$ ở dạng $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4

Khai triển $(- 1 + b) (- 1 + b)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5.1.2

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5.1.4

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5.1.5

Nhân $b$ với $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5.2

Trừ $b$ khỏi $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.6

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.6.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.6.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.7

Cộng $- 2 b$ và $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.9

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.9.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.9.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Bước 2.4.1.9.3

Viết lại đa thức này.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.9.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = b$ và $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Bước 2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Bước 2.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $1$ và $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Bước 2.4.4.2

Cộng $- b$ và $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Bước 2.4.4.3

Cộng $0$ và $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Bước 2.4.5

Chia $2$ cho $2$ .

$a = 1$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.3

Viết lại ${(- 1 + b)}^{2}$ ở dạng $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4

Khai triển $(- 1 + b) (- 1 + b)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5.1.2

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5.1.4

Viết lại $- 1 b$ ở dạng $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5.1.5

Nhân $b$ với $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5.2

Trừ $b$ khỏi $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.6

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.6.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.6.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.7

Cộng $- 2 b$ và $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.9

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.9.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.9.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Bước 2.5.1.9.3

Viết lại đa thức này.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.9.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = b$ và $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Bước 2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Bước 2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Bước 2.5.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Bước 2.5.4.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Bước 2.5.4.4

Cộng $- b - b$ và $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Bước 2.5.4.5

Trừ $b$ khỏi $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Bước 2.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Bước 2.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Bước 2.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$a = \frac{- b}{1}$

Bước 2.5.5.2.4

Chia $- b$ cho $1$ .

$a = - b$

Bước 2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $a$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${a | a \neq 1}$