Giải tích sơ cấp Ví dụ

$g (x) = \frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ không xác định.

$x = - 1, x = 2$

Bước 2

Vì $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $2$ từ phía bên trái và $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $2$ từ phía bên phải, thì $x = 2$ là một tiệm cận đứng.

$x = 2$

Bước 3

Xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 4

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Bước 5

Vì $n > m$ , nên không có tiệm cận ngang.

Không có các tiệm cận ngang

Bước 6

Tìm tiệm cận xiên bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Phân tích $x^{2} - x - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 2, 1$

Bước 6.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{(x - 2) (x + 1)}$

Bước 6.2

Khai triển $(x - 2) (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

Bước 6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1)}$

Bước 6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{1 + 1} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.9

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Bước 6.2.10

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2}$

Bước 6.2.11

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} - x - 2}$

Bước 6.3

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$29 x$

$24$

Bước 6.4

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$x$
	$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$

Bước 6.5

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$

Bước 6.6

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - x^{2} - 2 x$

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$

Bước 6.7

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Bước 6.8

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Bước 6.9

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 3 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Bước 6.10

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$

Bước 6.11

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 3 x^{2} + 3 x + 6$

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Bước 6.12

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
									-	$30 x$	-	$30$

Bước 6.13

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$x - 3 + \frac{- 30 x - 30}{x^{2} - x - 2}$

Bước 6.14

Tiệm cận xiên là phần đa thức của kết quả của phép chia số lớn.

$y = x - 3$

Bước 7

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = 2$

Không có các tiệm cận ngang

Các tiệm cận xiên: $y = x - 3$

Bước 8