Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt[3]{y + 4} = 7 x$

Bước 3.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{y + 4}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y + 4}$ ở dạng ${(y + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 4)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

$y + 4 = {(7 x)}^{3}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn ${(7 x)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 x$ .

$y + 4 = 7^{3} x^{3}$

Bước 3.5.3.1.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$y + 4 = 343 x^{3}$

Bước 3.6

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 343 x^{3} - 4$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})}^{3} - 4$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 4}}^{3}}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2

Viết lại ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ ở dạng $x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x + 4}$ ở dạng ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.2.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

Bước 5.2.3.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $343$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 4 - 4$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 4 - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (343 x^{3} - 4)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 4) + 4}}{7}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $343 x^{3}$ và $0$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $343 x^{3}$ ở dạng ${(7 x)}^{3}$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Bước 5.3.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (343 x^{3} - 4) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$