Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{7}}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{7}}{9}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{7}}{9}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{7}}{9}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{7}}{9} = x$ .

$\frac{y^{7}}{9} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $9$ .

$9 \frac{y^{7}}{9} = 9 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{y^{7}}{9} = 9 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{7} = 9 x$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[7]{9 x}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{9 x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{9 x}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{7}}{9}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = \sqrt[7]{9 (\frac{x^{7}}{9})}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $9$ và $\frac{x^{7}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = \sqrt[7]{\frac{9 x^{7}}{9}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Rút gọn biểu thức $\frac{9 x^{7}}{9}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = \sqrt[7]{\frac{9 x^{7}}{9}}$

Bước 5.2.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x^{7}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Bước 5.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{9}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[7]{9 x})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{{(\sqrt[7]{9 x})}^{7}}{9}$

Bước 5.3.3

Viết lại ${\sqrt[7]{9 x}}^{7}$ ở dạng $9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{9 x}$ ở dạng ${(9 x)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{{({(9 x)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{9}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{{(9 x)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{9}$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{{(9 x)}^{\frac{7}{7}}}{9}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{{(9 x)}^{\frac{7}{7}}}{9}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\sqrt[7]{9 x}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{9 x}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{7}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{9 x}$