Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt[5]{x + 4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt[5]{x + 4}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt[5]{x + 4}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt[5]{y + 4}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[5]{y + 4} = x$ .

$\sqrt[5]{y + 4} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ căn ở vế trái của phương trình, lũy thừa cả hai vế của phương trình lên mũ $5$ .

${\sqrt[5]{y + 4}}^{5} = x^{5}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{y + 4}$ ở dạng ${(y + 4)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(y + 4)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 4)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 4)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 4)}^{1} = x^{5}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$y + 4 = x^{5}$

Bước 3.4

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x^{5} - 4$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 4$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{5} - 4$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[5]{x + 4}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = {(\sqrt[5]{x + 4})}^{5} - 4$

Bước 5.2.3

Viết lại ${\sqrt[5]{x + 4}}^{5}$ ở dạng $x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{x + 4}$ ở dạng ${(x + 4)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 4$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 4$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{5}{5}} - 4$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{5}{5}} - 4$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = (x + 4) - 4$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = x + 4 - 4$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 4 - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 4}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{5} - 4)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{5} - 4) = \sqrt[5]{(x^{5} - 4) + 4}$

Bước 5.3.3

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (x^{5} - 4) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Bước 5.3.4

Cộng $x^{5}$ và $0$ .

$f (x^{5} - 4) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (x^{5} - 4) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{5} - 4$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[5]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 4$