Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{5}}{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{5}}{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{5}}{5} = x$ .

$\frac{y^{5}}{5} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $5$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{5} = 5 x$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[5]{5 x}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{5}}{5})}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{x^{5}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Rút gọn biểu thức $\frac{5 x^{5}}{5}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

Bước 5.2.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Bước 5.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[5]{5 x})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{5 x})}^{5}}{5}$

Bước 5.3.3

Viết lại ${\sqrt[5]{5 x}}^{5}$ ở dạng $5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{5 x}$ ở dạng ${(5 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{({(5 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{5}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{5}$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$