Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $e^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Bước 2.2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Bước 2.3

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Phân tích $u^{2} - u - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 2, 1$

Bước 2.3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Bước 2.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 2.3.3

Đặt $u - 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $u - 2$ bằng với $0$ .

$u - 2 = 0$

Bước 2.3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 2$

Bước 2.3.4

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 2.3.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 2.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 2) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 2, - 1$

Bước 2.4

Thay $2$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Bước 2.5

Giải $2 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Bước 2.5.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Bước 2.5.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Bước 2.5.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Bước 2.5.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 2.6

Thay $- 1$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Bước 2.7

Giải $- 1 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Bước 2.7.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Bước 2.7.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 1)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.7.4

Không có đáp án nào cho $e^{x} = - 1$

Không có đáp án

Bước 2.8

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (2)$

Bước 2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \geq \ln (2)$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ ở dạng ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.2

Rút gọn.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Bước 4.3.1.2

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Bước 4.3.1.3

Phân tích $u^{2} - u - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

$- 2, 1$

Bước 4.3.1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Bước 4.3.1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Bước 4.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Bước 4.3.3

Đặt $e^{x} - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đặt $e^{x} - 2$ bằng với $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Bước 4.3.3.2

Giải $e^{x} - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{x} = 2$

Bước 4.3.3.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Bước 4.3.3.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Bước 4.3.3.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Bước 4.3.3.2.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 4.3.4

Đặt $e^{x} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đặt $e^{x} + 1$ bằng với $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Bước 4.3.4.2

Giải $e^{x} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{x} = - 1$

Bước 4.3.4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Bước 4.3.4.2.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 1)$ không xác định.

Không xác định

Bước 4.3.4.2.4

Không có đáp án nào cho $e^{x} = - 1$

Không có đáp án

Bước 4.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ đúng.

$x = \ln (2)$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(\ln (2), \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > \ln (2)}$

Bước 6