Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$2 (y^{7} + 2) = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 (y^{7} + 2) = x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (y^{7} + 2) = x$ cho $2$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $y^{7} + 2$ cho $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Bước 3.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Bước 3.5

Rút gọn $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.5.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Bước 3.5.5

Viết lại $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ và $\sqrt[7]{2}$ vào một căn thức đơn.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Bước 5.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{7} + 2) - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Bước 5.2.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Bước 5.2.5

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x^{7}$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Bước 5.2.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 x^{7}}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Bước 5.2.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Bước 5.2.6.2

Chia $x^{7}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Bước 5.2.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2

Viết lại ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ ở dạng $x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x - 4}$ ở dạng ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.2.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.3

Viết lại ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Bước 5.3.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Bước 5.3.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Bước 5.3.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Bước 5.3.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Bước 5.3.3.3.5

Tính số mũ.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Bước 5.3.4

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 5.3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Bước 5.3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Bước 5.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Bước 5.3.6.2

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Bước 5.3.6.3

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$