Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$

Bước 3.2

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y - 7)}^{1} = x^{3}$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn.

$y - 7 = x^{3}$

Bước 3.4

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x^{3} + 7$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ có là hàm ngược của $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Bước 5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = (x - 7) + 7$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x - 7 + 7$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 7 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{3} + 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{3} + 7) = {((x^{3} + 7) - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(x^{3} + 7) - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 5.3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x^{3} + 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ là hàm ngược của $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$