Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(x - 9)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(x - 9)}^{7}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(x - 9)}^{7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(y - 9)}^{7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(y - 9)}^{7} = x$ .

${(y - 9)}^{7} = x$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 9 = \sqrt[7]{x}$

Bước 3.3

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt[7]{x} + 9$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 9$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 9$ có là hàm ngược của $f (x) = {(x - 9)}^{7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(x - 9)}^{7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 9)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 9)}^{7}} + 9$

Bước 5.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} ({(x - 9)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 9)}^{7}} + 9$

Bước 5.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} ({(x - 9)}^{7}) = x - 9 + 9$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 9 + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 9$ và $9$ .

$f^{- 1} ({(x - 9)}^{7}) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 9)}^{7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[7]{x} + 9)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = {((\sqrt[7]{x} + 9) - 9)}^{7}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(\sqrt[7]{x} + 9) - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\sqrt[7]{x}$ và $0$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = x^{\frac{7}{7}}$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = x^{\frac{7}{7}}$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = x$

Bước 5.3.4.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[7]{x} + 9) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 9$ là hàm ngược của $f (x) = {(x - 9)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 9$