Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt[4]{x - 2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt[4]{y - 2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[4]{y - 2} = x$ .

$\sqrt[4]{y - 2} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ căn ở vế trái của phương trình, lũy thừa cả hai vế của phương trình lên mũ $4$ .

${\sqrt[4]{y - 2}}^{4} = x^{4}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{y - 2}$ ở dạng ${(y - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y - 2)}^{1} = x^{4}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$y - 2 = x^{4}$

Bước 3.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x^{4} + 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(\sqrt[4]{x - 2})}^{4} + 2$

Bước 5.2.3

Viết lại ${\sqrt[4]{x - 2}}^{4}$ ở dạng $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 2$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 2$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{4} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{(x^{4} + 2) - 2}$

Bước 5.3.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Bước 5.3.4

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (x^{4} + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$