Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ở dạng một phương trình.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Bước 3.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Viết lại ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ ở dạng $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Bước 3.1.2.2

Viết lại $y^{7}$ ở dạng ${(y^{2})}^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Đưa $y^{6}$ ra ngoài.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Bước 3.1.2.2.2

Viết lại $y^{6}$ ở dạng ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Bước 3.1.2.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Bước 3.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Bước 3.2

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Bước 3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Bước 3.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $16384$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Bước 3.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2

Nhân $y^{2}$ với $y^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Bước 3.5.1.2.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Bước 3.6

Lấy mũ lũy thừa $\frac{3}{7}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.1.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Rút gọn ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2.1.1.2

Viết lại $16384$ ở dạng $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Bước 3.7.2.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Bước 5.2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Bước 5.2.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Bước 5.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $64 x^{\frac{3}{7}}$ ở dạng ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Bước 5.3.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Chia $x^{\frac{1}{7}}$ cho $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Bước 5.3.4.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Bước 5.3.4.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$