Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $400$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- 25 x^{2} + 200 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $200$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{100}{- 25}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $- 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$d = - 4$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $200$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $40000$ cho $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $400$ .

$e = 400$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Bước 1.3

Thay $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ cho $- 25 x^{2} + 200 x$ trong phương trình $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Bước 1.4

Di chuyển $400$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $400$ vào cả hai vế.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $9 y^{2} - 90 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 90$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 45}{9}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 45$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 5}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $- 5$ cho $1$ .

$d = - 5$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 90$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $8100$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $225$ .

$e = 0 - 225$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $225$ khỏi $0$ .

$e = - 225$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Bước 1.6

Thay $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ cho $9 y^{2} - 90 y$ trong phương trình $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Bước 1.7

Di chuyển $- 225$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $225$ vào cả hai vế.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Bước 1.8

Rút gọn $400 - 400 + 225$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Trừ $400$ khỏi $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Bước 1.8.2

Cộng $0$ và $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $225$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Bước 4

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Bước 5

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Bước 5.2.1.4

Nhân $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Bước 5.2.1.4.2

Nhân $5$ với $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Bước 5.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Bước 5.2.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nhân $5$ với $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Bước 5.2.5.2

Cộng $- 20$ và $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Bước 5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Bước 6

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Bước 6.2

Rút gọn $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Bước 6.2.1.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Bước 6.2.1.4.3

Nhân $4$ với $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Bước 6.2.1.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Bước 6.2.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $5$ với $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Bước 6.2.5.2

Cộng $20$ và $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Bước 7

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Bước 8

Các tiệm cận là $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ và $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Các đường tiệm cận: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Bước 9