Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 8 x^{3}$ ở dạng một phương trình.

$y = 8 x^{3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 8 y^{3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{3} = x$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{3} = x$ cho $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $\frac{x}{8}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{3}$ ra ngoài $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Bước 3.4.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{3}$ ra ngoài $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Bước 3.4.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Bước 3.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Bước 3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (8 x^{3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại $8 x^{3}$ ở dạng ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Bước 5.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Bước 5.3.4.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Bước 5.3.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$