Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phương trình.

$y = 10 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 10 y^{\frac{1}{3}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ .

$10 y^{\frac{1}{3}} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ cho $10$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $10 y^{\frac{1}{3}} = x$ cho $10$ .

$\frac{10 y^{\frac{1}{3}}}{10} = \frac{x}{10}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 y^{\frac{1}{3}}}{10} = \frac{x}{10}$

Bước 3.2.2.2

Chia $y^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{10}$

Bước 3.3

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Bước 3.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Bước 3.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Bước 3.4.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x}{10})}^{3}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(\frac{x}{10})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{10}$ .

$y = \frac{x^{3}}{10^{3}}$

Bước 3.4.2.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{1000}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$ có là hàm ngược của $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(10 x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $10 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{10^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Bước 5.2.3.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{1000}$

Bước 5.2.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{1000}$

Bước 5.2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{1000}$

Bước 5.2.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Bước 5.2.3.4

Rút gọn.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $1000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1000 x}{1000}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{\frac{1}{3}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{3}}{1000})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 {(\frac{x^{3}}{1000})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{3}}{1000}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{1000^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại $1000$ ở dạng $10^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{{(10^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 5.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10^{3 (\frac{1}{3})}})$

Bước 5.3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10^{3 (\frac{1}{3})}})$

Bước 5.3.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Bước 5.3.5.4

Tính số mũ.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{1000}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$ là hàm ngược của $f (x) = 10 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{1000}$