Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x - 10}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt{x - 10}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{x - 10}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{y - 10}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{y - 10} = x$ .

$\sqrt{y - 10} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y - 10}}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y - 10}$ ở dạng ${(y - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(y - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y - 10)}^{1} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$y - 10 = x^{2}$

Bước 3.4

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x^{2} + 10$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 10$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{2} + 10$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x - 10}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{x - 10})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = {(\sqrt{x - 10})}^{2} + 10$

Bước 5.2.3

Viết lại ${\sqrt{x - 10}}^{2}$ ở dạng $x - 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 10}$ ở dạng ${(x - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = {({(x - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 10$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 10$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{2}{2}} + 10$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = {(x - 10)}^{\frac{2}{2}} + 10$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = (x - 10) + 10$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = x - 10 + 10$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 10 + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 10$ và $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 10}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{2} + 10)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{2} + 10) = \sqrt{(x^{2} + 10) - 10}$

Bước 5.3.3

Trừ $10$ khỏi $10$ .

$f (x^{2} + 10) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Bước 5.3.4

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (x^{2} + 10) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (x^{2} + 10) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{2} + 10$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{x - 10}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 10$