Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 8 x^{7}$ ở dạng một phương trình.

$y = 8 x^{7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 8 y^{7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 y^{7} = x$ .

$8 y^{7} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{7} = x$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{7} = x$ cho $8$ .

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $y^{7}$ cho $1$ .

$y^{7} = \frac{x}{8}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

Bước 3.4

Viết lại $\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ có là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (8 x^{7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\sqrt[7]{8 x^{7}}$ và $\sqrt[7]{8}$ vào một căn thức đơn.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Bước 5.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Rút gọn biểu thức $\frac{8 x^{7}}{8}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Bước 5.2.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x^{7}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Bước 5.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

Bước 5.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.4.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Bước 5.3.5

Viết lại ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ ở dạng $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{8}$ ở dạng $8^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Bước 5.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Bước 5.3.5.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Bước 5.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Bước 5.3.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Bước 5.3.5.5

Tính số mũ.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$