Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.1.3.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.1.3.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.1.3.4

Phân tích $x^{2} + 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $3$ .

$- 1, 4$

Bước 2.1.3.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.2

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 2.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.4

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.5

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.6

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Bước 2.7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 1, - 4, 2$

Bước 2.8

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 2.8.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.8.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 2.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Bước 2.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Bước 2.10.1.3

Vế trái $- 1.75$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Bước 2.10.2.3

Vế trái $2$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 2.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Bước 2.10.3.3

Vế trái $- 5.5$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.10.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Bước 2.10.4.3

Vế trái $12$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.10.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 1$ Đúng

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 1$ Đúng

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 2.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 \leq x \leq 1$ hoặc $x > 2$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Bước 6