Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (3 - x)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$3 - x > 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x > - 3$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x > - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x > - 3$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 3}{- 1}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} < \frac{- 3}{- 1}$

Bước 2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$x < 3$

Bước 3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} - 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \geq 1$

Bước 4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Bước 4.3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| x | \geq 1$

Bước 4.4

Viết $| x | \geq 1$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 4.4.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \geq 1$

Bước 4.4.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 4.4.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \geq 1$

Bước 4.4.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Bước 4.5

Tìm phần giao của $x \geq 1$ và $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Bước 4.6

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \geq 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Bước 4.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Bước 4.6.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Bước 4.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x \leq - 1$

Bước 4.7

Tìm hợp của các đáp án.

$x \leq - 1$ hoặc $x \geq 1$

Bước 5

Đặt mẫu số trong $\frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 6.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Bước 6.2.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 1$

Bước 6.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 6.3.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 6.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 6.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 6.3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 7

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x < - 1, 1 < x < 3}$

Bước 8