Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

Bước 1.1.2

Cộng $6 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y - x^{2} + 6 x = k$

Bước 1.1.3

Trừ $k$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

Bước 1.1.4

Di chuyển $6 x$ .

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

Bước 1.1.5

Di chuyển $y$ .

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- x^{2} + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$d = - 3$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $36$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $9$ .

$e = 9$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

Bước 1.3

Thay $- {(x - 3)}^{2} + 9$ cho $- x^{2} + 6 x$ trong phương trình $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

Bước 1.4

Di chuyển $9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

Bước 1.5

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(3, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1}$

Bước 5.3.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(3, 1)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(3, - 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(3, 1), (3, - 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(3, \sqrt{2})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(3, - \sqrt{2})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Bước 8

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 8.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 8.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 8.3.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 8.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 8.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 8.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 8.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 9

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 10

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 10.2

Rút gọn $1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $1 \cdot (x - (3))$ và $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (3))$

Bước 10.2.2

Nhân $x - (3)$ với $1$ .

$y = x - (3)$

Bước 10.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = x - 3$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Bước 11.2

Rút gọn $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Cộng $- 1 \cdot (x - (3))$ và $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

Bước 11.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

Bước 11.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

Bước 11.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3$

Bước 11.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$y = - x + 3$

Bước 12

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = x - 3, y = - x + 3$

Bước 13

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(3, 0)$

Các đỉnh: $(3, 1), (3, - 1)$

Tiêu điểm: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Tâm sai: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Tham số tiêu: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Các đường tiệm cận: $y = x - 3$ , $y = - x + 3$

Bước 14