Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ không xác định.

$- 1 \leq x \leq 0$

Bước 2

Vì $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- 1$ từ phía bên trái và $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- 1$ từ phía bên phải, thì $x = - 1$ là một tiệm cận đứng.

$x = - 1$

Bước 3

Vì $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên trái và $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên phải, thì $x = 0$ là một tiệm cận đứng.

$x = 0$

Bước 4

Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng:

$x = - 1, 0$

Bước 5

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Bước 5.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Bước 5.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Bước 5.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Bước 5.2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Bước 5.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.5.3

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Bước 5.8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 5.9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 5.9.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 5.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 5.9.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Bước 5.9.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Bước 5.9.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Bước 5.9.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Bước 5.10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Bước 5.11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Bước 5.11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.2.1

Chia $1 + 0$ cho $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Bước 5.11.2.2

Cộng $- 3$ và $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Bước 5.11.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.2.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Bước 5.11.2.3.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Bước 5.11.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$- 3$

Bước 6

Tính $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Bước 6.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Bước 6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Bước 6.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Bước 6.2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Bước 6.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.5.3

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.7.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Bước 6.8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 6.9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 6.9.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 6.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Bước 6.9.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Bước 6.9.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Bước 6.9.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Bước 6.9.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Bước 6.10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Bước 6.11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Bước 6.11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.2.1

Chia $1 + 0$ cho $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Bước 6.11.2.2

Cộng $- 3$ và $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Bước 6.11.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.2.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Bước 6.11.2.3.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Bước 6.11.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.11.2.5

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$3$

Bước 7

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = - 3, 3$

Bước 8

Sử dụng phép chia đa thức để tìm các tiệm cận xiên. Vì biểu thức này chứa một dấu căn, nên không thực hiện được phép chia đa thức.

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 9

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - 1, 0$

Các tiệm cận ngang: $y = - 3, 3$

Không tìm được các tiệm cận xiên

Bước 10