Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt{y}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{2} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{y} = 2 x$

Bước 3.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

$y = {(2 x)}^{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn ${(2 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$y = 2^{2} x^{2}$

Bước 3.5.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 4 x^{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt{x}}{2})}^{2}$

Bước 5.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2^{2}})$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Bước 5.2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (4 x^{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (4 x^{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$