Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{5}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 5 x^{\frac{1}{5}}$ ở dạng một phương trình.

$y = 5 x^{\frac{1}{5}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 5 y^{\frac{1}{5}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 y^{\frac{1}{5}} = x$ .

$5 y^{\frac{1}{5}} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $5 y^{\frac{1}{5}} = x$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 y^{\frac{1}{5}} = x$ cho $5$ .

$\frac{5 y^{\frac{1}{5}}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 y^{\frac{1}{5}}}{5} = \frac{x}{5}$

Bước 3.2.2.2

Chia $y^{\frac{1}{5}}$ cho $1$ .

$y^{\frac{1}{5}} = \frac{x}{5}$

Bước 3.3

Lấy mũ lũy thừa $5$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Bước 3.4.2.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$y = \frac{x^{5}}{3125}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125}$ có là hàm ngược của $f (x) = 5 x^{\frac{1}{5}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125}$

Bước 5.2.3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125}$

Bước 5.2.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125}$

Bước 5.2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125}$

Bước 5.2.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 x}{3125}$

Bước 5.2.3.4

Rút gọn.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 x}{3125}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3125$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = \frac{3125 x}{3125}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{5}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{5}}{3125})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 {(\frac{x^{5}}{3125})}^{\frac{1}{5}}$

Bước 5.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{5}}{3125}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{{(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x^{5 (\frac{1}{5})}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x^{5 (\frac{1}{5})}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại $3125$ ở dạng $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{{(5^{5})}^{\frac{1}{5}}})$

Bước 5.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{5^{5 (\frac{1}{5})}})$

Bước 5.3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{5^{5 (\frac{1}{5})}})$

Bước 5.3.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.5.4

Tính số mũ.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = 5 (\frac{x}{5})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{5}}{3125}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125}$ là hàm ngược của $f (x) = 5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125}$