Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Bước 5.3.3

Cộng $4$ và $16$ .

$\sqrt{20}$

Bước 5.3.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{5}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 0)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 0)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2 \sqrt{5}, 0)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2 \sqrt{5}, 0)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(2 \sqrt{5}, 0), (- 2 \sqrt{5}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 8.3.2.2

Chia $\sqrt{5}$ cho $1$ .

$\sqrt{5}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{8}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Nhân $\frac{8}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.4.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.4.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Bước 9.3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 9.3.4.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Bước 9.3.4.6.5

Tính số mũ.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm 2 \cdot x + 0$

Bước 11

Cộng $2 \cdot x$ và $0$ .

$y = 2 x$

Bước 12

Cộng $- 2 \cdot x$ và $0$ .

$y = - 2 x$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = 2 x, y = - 2 x$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(2, 0), (- 2, 0)$

Tiêu điểm: $(2 \sqrt{5}, 0), (- 2 \sqrt{5}, 0)$

Tâm sai: $\sqrt{5}$

Tham số tiêu: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = 2 x$ , $y = - 2 x$

Bước 15