Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 4 \sqrt[3]{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 4 \sqrt[3]{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 \sqrt[3]{y} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \sqrt[3]{y} = x$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \sqrt[3]{y} = x$ cho $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\sqrt[3]{y}$ cho $1$ .

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4}$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Bước 3.4.3.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ có là hàm ngược của $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{{(4 \sqrt[3]{x})}^{3}}{64}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{4^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Bước 5.2.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Bước 5.2.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Bước 5.2.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Bước 5.2.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Bước 5.2.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Bước 5.2.3.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{3}}{64})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Bước 5.3.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Bước 5.3.4

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4^{3}}}$

Bước 5.3.5

Viết lại $\frac{x^{3}}{4^{3}}$ ở dạng ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{x}{4})}^{3}}$

Bước 5.3.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ là hàm ngược của $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$