Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $8$ .

$8 \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = 8 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = 8 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{\frac{1}{5}} = 8 x$

Bước 3.4

Lấy mũ lũy thừa $5$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(8 x)}^{5}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(8 x)}^{5}$

Bước 3.5.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(8 x)}^{5}$

Bước 3.5.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(8 x)}^{5}$

Bước 3.5.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(8 x)}^{5}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${(8 x)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $8 x$ .

$y = 8^{5} x^{5}$

Bước 3.5.2.1.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $5$ .

$y = 32768 x^{5}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 {(\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8})}^{5}$

Bước 5.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{8^{5}})$

Bước 5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{8^{5}})$

Bước 5.2.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{8^{5}})$

Bước 5.2.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{8^{5}})$

Bước 5.2.4.2

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{8^{5}})$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{32768})$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $32768$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{32768})$

Bước 5.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (32768 x^{5})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{{(32768 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $32768 x^{5}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{32768^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $32768$ ở dạng $8^{5}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{{(8^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{8^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.5

Tính số mũ.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Bước 5.3.3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x^{5 (\frac{1}{5})}}{8}$

Bước 5.3.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x^{5 (\frac{1}{5})}}{8}$

Bước 5.3.3.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Bước 5.3.3.7

Rút gọn.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (32768 x^{5}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$