Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{9 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$9 - x^{2} \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 9$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 9$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 9$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Chia $- 9$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 9$

Bước 2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

Bước 2.4

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{9}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn $\sqrt{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

Bước 2.4.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 3 |$

Bước 2.4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$| x | \leq 3$

Bước 2.5

Viết $| x | \leq 3$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 2.5.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 3$

Bước 2.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 2.5.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 3$

Bước 2.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Bước 2.6

Tìm phần giao của $x \leq 3$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 3$

Bước 2.7

Giải $- x \leq 3$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 3$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Bước 2.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Bước 2.7.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{3}{- 1}$

Bước 2.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.3.1

Chia $3$ cho $- 1$ .

$x \geq - 3$

Bước 2.7.2

Tìm phần giao của $x \geq - 3$ và $x < 0$ .

$- 3 \leq x < 0$

Bước 2.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- 3 \leq x \leq 3$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích $x^{2} + 7 x + 10$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $10$ và tổng của chúng là $7$ .

$2, 5$

Bước 4.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Bước 4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Bước 4.3

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.4

Đặt $x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $x + 5$ bằng với $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 4.4.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 4.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x + 5) = 0$ đúng.

$x = - 2, - 5$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 3 \leq x \leq 3, x \neq - 2}$

Bước 6