Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại ${(x - 5)}^{2}$ ở dạng $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Bước 1.1.1.2

Khai triển $(x - 5) (x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Bước 1.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Bước 1.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Bước 1.1.1.3.1.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Bước 1.1.1.3.1.3

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Bước 1.1.1.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Bước 1.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Bước 1.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Nhân $- 10$ với $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Bước 1.1.1.5.2

Nhân $- 1$ với $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.2

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.3.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.3.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.5.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.1.5.2

Nhân $3$ với $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.2

Cộng $- x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Bước 1.2.1.3

Cộng $- 12 x$ và $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Bước 1.2.1.4

Trừ $25$ khỏi $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Bước 1.2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Bước 1.2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Bước 1.2.4.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 2)}^{2}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1.1

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.1.4

Nhân $2^{2}$ với $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Bước 1.2.5.2.1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Bước 1.2.5.2.1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.5.2.2

Để viết $- 13$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.5.2.3

Kết hợp $- 13$ và $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 1.2.5.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.5.1

Nhân $- 13$ với $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Bước 1.2.5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{27}{2}$

Bước 1.2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Bước 1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Bước 3

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Bước 4