Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 x - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 x - 4$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 x - 4$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 y - 4$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y - 4 = x$ .

$2 y - 4 = x$

Bước 3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = x + 4$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x + 4$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x + 4$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $4$ cho $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 x - 4$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 x - 4)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2 x - 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Bước 5.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Bước 5.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 (1)} + 2$

Bước 5.2.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 \cdot 1} + 2$

Bước 5.2.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{x - 2}{1} + 2$

Bước 5.2.3.4.4

Chia $x - 2$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x}{2} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2} + 2) - 4$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 2 \cdot 2 - 4$

Bước 5.3.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 4 - 4$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 4 - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = 2 x - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$