Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{7} + 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = x^{7} + 3$ ở dạng một phương trình.

$y = x^{7} + 3$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = y^{7} + 3$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{7} + 3 = x$ .

$y^{7} + 3 = x$

Bước 3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{7} = x - 3$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[7]{x - 3}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$ có là hàm ngược của $f (x) = x^{7} + 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (x^{7} + 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{(x^{7} + 3) - 3}$

Bước 5.2.3

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Bước 5.2.4

Cộng $x^{7}$ và $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Bước 5.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[7]{x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(\sqrt[7]{x - 3})}^{7} + 3$

Bước 5.3.3

Viết lại ${\sqrt[7]{x - 3}}^{7}$ ở dạng $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[7]{x - 3}$ ở dạng ${(x - 3)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 3$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 3$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $7$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{7}{7}} + 3$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{7}{7}} + 3$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = (x - 3) + 3$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x - 3 + 3$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 3 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$ là hàm ngược của $f (x) = x^{7} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$