Giải tích sơ cấp Ví dụ

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{1}{3}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{1}{3}$

Bước 2

Dùng công thức của dãy cấp số nhân $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ để tìm số số hạng, $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thế các giá trị vào số hạng đầu, số hạng cuối, và công bội trong công thức.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 2.2

Giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Bước 2.2.2

Rút gọn $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Bước 2.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Bước 2.2.2.2

Kết hợp $81$ và $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Bước 2.2.3

Nhân cả hai vế với $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Bước 2.2.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{81}$ và $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Bước 2.2.5

Giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Bước 2.2.5.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Bước 2.2.5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Bước 2.2.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.2.1

Nhân $81$ với $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Bước 2.2.5.4

Tạo các biểu thức tương ứng trong phương trình sao cho tất cả đều có cơ số bằng nhau.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Bước 2.2.5.5

Vì các cơ số giống nhau, nên hai biểu thức chỉ bằng nhau khi các số mũ cũng bằng nhau.

$n - 1 = 8$

Bước 2.2.5.6

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $n$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.6.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$n = 8 + 1$

Bước 2.2.5.6.2

Cộng $8$ và $1$ .

$n = 9$

Bước 3

Dùng công thức tính tổng của dãy cấp số nhân $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ để tìm tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế các giá trị vào số hạng đầu, công sai, và số các số hạng trong công thức tính tổng.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.7.2

Trừ $19683$ khỏi $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.9

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.9.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.9.2

Kết hợp $81$ và $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.9.3

Nhân $81$ với $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.10

Triệt tiêu thừa số chung của $1594242$ và $19683$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.10.1

Đưa $81$ ra ngoài $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.10.2.1

Đưa $81$ ra ngoài $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.1.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.2.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.2.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Bước 3.2.2.4.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Bước 3.2.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Bước 3.2.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Bước 3.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 3.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 3.2.5.3

Viết lại biểu thức.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Bước 3.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Bước 3.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$