Giải tích sơ cấp Ví dụ

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

Bước 1

Đây là dãy cấp số cộng vì hiệu giữa các số hạng là như nhau. Trong trường hợp này, ta cộng $2$ vào số hạng trước sẽ cho ta số hạng kề sau trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Cấp số cộng: $d = 2$

Bước 2

Dùng công thức của dãy cấp số cộng $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ để tìm số số hạng, $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay các giá trị vào số hạng đầu, số hạng cuối, và công sai trong công thức.

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

Bước 2.2

Giải tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + 2 (n - 1) = 101$ .

$1 + 2 (n - 1) = 101$

Bước 2.2.2

Rút gọn $1 + 2 (n - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$1 + 2 n - 2 = 101$

Bước 2.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 n - 1 = 101$

Bước 2.2.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $n$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 n = 101 + 1$

Bước 2.2.3.2

Cộng $101$ và $1$ .

$2 n = 102$

Bước 2.2.4

Chia mỗi số hạng trong $2 n = 102$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 n = 102$ cho $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Bước 2.2.4.2.1.2

Chia $n$ cho $1$ .

$n = \frac{102}{2}$

Bước 2.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1

Chia $102$ cho $2$ .

$n = 51$

Bước 3

Dùng công thức tính tổng dãy cấp số cộng $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ để tìm tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế các giá trị vào số hạng đầu, số hạng cuối, và số các số hạng trong công thức tính tổng.

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $1$ và $101$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $102$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$S_{n} = 51 \cdot 51$

Bước 3.2.3

Nhân $51$ với $51$ .

$S_{n} = 2601$