Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Bước 1.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Bước 1.1.3

Rút gọn $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Khai triển $(x - 1) (x + 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Bước 1.1.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Bước 1.1.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Bước 1.1.3.2.1.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Bước 1.1.3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Bước 1.1.3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Bước 1.1.3.2.2

Trừ $x$ khỏi $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Bước 1.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Bước 1.1.3.4.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.3.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Bước 1.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Bước 1.2.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.3.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Bước 1.2.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3.2.5.3

Viết lại biểu thức.

$d = 3$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.4.2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.4.2.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $4$ cho $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Bước 1.2.4.2.1.4

Chia $\frac{9}{4}$ cho $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Bước 1.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Bước 1.2.4.2.3

Trừ $9$ khỏi $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Bước 1.2.4.2.4

Chia $- 16$ cho $4$ .

$e = - 4$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Bước 1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Bước 3

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Bước 4