Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x - 2}{\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- x^{2} + 3 x + 10 \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$- x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} + 3 x + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 3 x + 10 = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 x$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) + 10 = 0$

Bước 2.2.1.3

Viết lại $10$ ở dạng $- 1 (- 10)$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 3 x) - 1 (- 10)$ .

$- (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 3 x - 10$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 10$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 5, 2$

Bước 2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 5) (x + 2) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 2.5

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 5) (x + 2) = 0$ đúng.

$x = 5, - 2$

Bước 2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 5$

$x > 5$

Bước 2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 10 \geq 0$

Bước 2.8.1.3

Vế trái $- 18$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 5$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 5$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(0)}^{2} + 3 (0) + 10 \geq 0$

Bước 2.8.2.3

Vế trái $10$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 5$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 5$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 2.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(8)}^{2} + 3 (8) + 10 \geq 0$

Bước 2.8.3.3

Vế trái $- 30$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < 5$ Đúng

$x > 5$ Sai

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < 5$ Đúng

$x > 5$ Sai

Bước 2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 2 \leq x \leq 5$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 2}{\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10} = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}$ ở dạng ${(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn ${({(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- x^{2} + 3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- x^{2} + 3 x + 10)}^{1} = 0^{2}$

Bước 4.2.2.1.2

Rút gọn.

$- x^{2} + 3 x + 10 = 0^{2}$

Bước 4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} + 3 x + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 3 x + 10 = 0$

Bước 4.3.1.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 x$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) + 10 = 0$

Bước 4.3.1.1.3

Viết lại $10$ ở dạng $- 1 (- 10)$ .

$- (x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Bước 4.3.1.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

Bước 4.3.1.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 3 x) - 1 (- 10)$ .

$- (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Bước 4.3.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Phân tích $x^{2} - 3 x - 10$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1.1

$- 5, 2$

Bước 4.3.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Bước 4.3.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 5) (x + 2) = 0$

Bước 4.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Bước 4.3.3

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 4.3.3.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 4.3.4

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.3.4.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 5) (x + 2) = 0$ đúng.

$x = 5, - 2$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- 2, 5)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 2 < x < 5}$

Bước 6